Ο άνθρωπος που... διόρθωσε τον Ευκλείδη – Ο Γερμανός «πατέρας» της Γεωμετρίας [εικόνες]

Κάποτε, πριν από μερικές χιλιάδες χρόνια, η «τέχνη» των μαθηματικών βασιζόταν αποκλειστικά σε διαισθητικές παρατηρήσεις και σε εμπειρικές αλήθειες. Βαβυλώνιοι και Αιγύπτιοι, οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με τα μαθηματικά, εστίασαν στο πρακτικό και υπολογιστικό τους κομμάτι.

Σύμφωνα με τα σημερινά δεδομένα, τέτοιου είδους μαθηματικές προσεγγίσεις δεν θα μπορούσαν να θεωρηθούν «επιστημονικές», αφού τους έλειπε κάτι πολύ βασικό. Η έννοια της λογικής απόδειξης. Αυτό, σύμφωνα με τους ιστορικούς των μαθηματικών, συναντάται για πρώτη φορά στην αρχαία Ελλάδα με την δημιουργία των αξιωματικών μεθόδων.

Ο Ευκλείδης και η πρώτη μαθηματική θεωρία στον κόσμο

Αυτός που εισήγαγε την έννοια του «αξιώματος» ήταν ο Αριστοτέλης. Ωστόσο, η πρώτη μαθηματική θεωρία, τα πρώτα βιβλία που ξεκινούν από την λογική για να στηρίξουν την όποια πρόταση περιέχουν, είναι τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Τα 13 βιβλία του σπουδαίου μαθηματικού, τα οποία θεμελιώνουν κυρίως την Ευκλείδεια Γεωμετρία, θεωρούνται τα πρώτα επιστημονικά συγγράμματα μαθηματικών.

Ο Ευκλείδης, κινούμενος στο κλίμα των αρχαίων Ελλήνων επιστημόνων της εποχής, αντιλήφθηκε πως για να θεμελιώσει κανείς την γεωμετρία πρέπει να στηριχθεί σε μια σειρά από λογικές προτάσεις, οι οποίες εν συνεχεία θα αποδεικνύουν κάθε μικρό κομμάτι από το «παζλ» των γεωμετρικών σχέσεων και θεωρημάτων. Δημιούργησε ένα σύνολο συλλογισμών, μια αξιωματική βάση της γεωμετρίας, η οποία όριζε την αφετηρία της θεωρίας του. Προτάσεις που τις δεχόταν χωρίς απόδειξη, επειδή ήταν λογικές. Από εκεί και πέρα, κάθε πρόταση θα έπρεπε να αποδεικνύεται με χρήση των αξιωμάτων και με αυστηρώς λογικά βήματα.

Κάποια από τα αξιώματα του Ευκλείδη ήταν τα εξής:

• Η κατασκευή μιας γραμμής γίνεται μοναδικά από την ένωση ενός σημείο με ένα άλλο
• Ενας κύκλος ορίζεται από ένα κέντρο και μια απόσταση (ακτίνα)
• Ολες οι ορθές γωνίες είναι ίσες
• Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα τελικά είναι επίσης ίσα

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, παρόλο που παρουσίαζαν μερικά θεωρητικά κενά, για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια αποτελούσαν την βάση της γεωμετρίας. Στις αρχές του 19ου αιώνα όμως, τα θεμέλια που έβαλε ο αρχαίος Ελληνας μαθηματικός αποδείχτηκαν ανεπαρκή, αφού όπως αποδείχθηκε, η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι η μοναδική γεωμετρία.

Μετά από 2.000 χρόνια ο Ευκλείδης αποκτά... ανταγωνιστές - Οι νέες γεωμετρίες που έφεραν αντιφάσεις

Στην δεκαετία του 1830, ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκι παρουσιάζει την Υπερβολική Γεωμετρία, κατά την οποία δεν ισχύει το αξίωμα της παραλλήλου. Παράλληλα, ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπολιάι επεξεργάζεται μια γεωμετρία, όπου είναι δυνατή τόσο η Ευκλείδεια, όσο και η Υπερβολική γεωμετρία ανάλογα με τις παραμέτρους.

Βασισμένες πάνω σε διαφορετικά αξιώματα, ξεκινώντας δηλαδή από διαφορετική βάση, οι δύο γεωμετρίες παρουσίαζαν αντίθετα αποτελέσματα. Ποια λοιπόν ήταν η σωστή προσέγγιση; Οι δύο γεωμετρίες είναι εξίσου σωστές, γεγονός που αποδεικνύει πως ο όρος «γεωμετρία» δεν είναι μονοσήμαντος, αλλά εξαρτάται από τον τρόπο που την ορίζει ο άνθρωπος!
(Ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκι)

Για παράδειγμα, αν για επίπεδο θεωρήσουμε την επιφάνεια μιας σφαίρας και για ευθείες τους μέγιστους κύκλους πάνω στη σφαίρα, τότε μπορούμε άμεσα να βρούμε κάτι που έρχεται αντίθετο στα δεδομένα που όρισε ο Ευκλείδης. Από δύο αντιδιαμετρικά σημεία διέρχονται άπειρες ευθείες. Σκεφτείτε πως κόβετε ένα μήλο στα τέσσερα. Οι δύο μαχαιριές θα αρχίσουν και καταλήξουν στα ίδια ακριβώς μέρη. Στον ευκλείδειο κόσμο ωστόσο, δύο σημεία μπορούν να ορίσουν μια και μόνο ευθεία!

Η αλλαγή των δεδομένων ήταν σαρωτική και μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα είχαν δημιουργηθεί πολλές ορθές γεωμετρίες, που παρουσίαζαν διαφορετικά στοιχεία. Αυτό ήταν κάτι που οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να ανεχτούν. Κάτι έπρεπε να συμβεί έτσι ώστε η έννοια της γεωμετρίας να αποκτήσει πλέον νόημα. Κάπου εκεί, ανέλαβε την υπόθεση ο Χίλμπερτ, για να θεμελιώσει μια και καλή αυτό που σήμερα αποκαλούμε γεωμετρία.

Ο ρόλος του Ντάβιντ Χίλμπερτ - Ο νέος «πατέρας» της Γεωμετρίας

Ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός, ίσως από τους «αυστηρότερους» σύγχρονους επιστήμονες, αποφάσισε στα τέλη του 19ου αιώνα πως πρέπει να δοθεί ένα τέλος στα προβλήματα που εμφάνιζε το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη. Το 1899 δημοσιεύει μια εργασία με όνομα Grundlagen der Geometrie, η οποία αποτελούνταν από ένα σύνολο αξιωμάτων (αξιώματα Χίλμπερτ), με στόχο να υποκαταστήσουν τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη.

Η κλασσική αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη μετατράπηκε σε τυπική αξιωματική μέθοδο. Ο Χίλμπερτ κατάφερε να αναβαθμίσει τα θεμέλια της γεωμετρίας, ξεκινώντας πάλι από το μηδέν, μελετώντας τα έργα των γεωμετρών της εποχής και επανεξετάζοντας μια αξιωματική βάση για την Ευκλείδεια γεωμετρία, που ήταν το παγκόσμιο πρότυπο.
(Ο Νταβίντ Χίλμπερτ)

Πρώτα από όλα, ο Χίλμπερτ όρισε τις καινούργιες «απαιτήσεις» της αξιωματικής θεωρίας. Πλέον, δεν υπήρχε κανένας χώρος για την διαίσθηση, αφού όλα ορίζονταν με αυστηρή λογική. Πώς γινόταν αυτό;

Μια αξιωματική θεωρία πρέπει να ακολουθεί 3 βασικούς κανόνες:

• Να μην παρουσιάζει αντιφάσεις (πχ. Μια πρόταση και η άρνηση της δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα αληθείς)
• Να είναι διατυπωμένη με τον μικρότερο δυνατό αριθμό αξιωμάτων
• Να είναι πλήρης (Δηλαδή μια πρόταση να αποδεικνύεται ως αληθής ή ψευδής μέσα από την θεωρία, με λογικές συνεπαγωγές)

Αφού όρισε τους... κανόνες του παιχνιδιού, ο Χίλμπερτ πέρασε κατευθείαν στο κομμάτι της θεμελίωσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Και εκεί, ο Γερμανός μαθηματικός χώρισε το έργο του σε 3 κομμάτια.
Αφήνοντας αόριστες τις έννοιες της ευθείας, του σημείου και του επιπέδου, ο Χίλμπερτ όρισε κάποιες σχέσεις μεταξύ τους, οι οποίες θα πρέπει να υπακούν σε μια σειρά από αξιώματα που χωρίζονται σε 5 κατηγορίες. Αξίζει να σημειωθεί πως οι ευθείες ή τα επίπεδα δεν ορίστηκαν, αφού δεν χρειάστηκε να οριστούν. Οπως είχε πει ο Χίλμπερτ, όταν εξηγούσε την θεωρία του, στην θέση τους θα μπορούσαμε να βάλουμε τραπέζια, μπουκάλια και τασάκια. Αυτό που έχει σημασία είναι οι σχέσεις και τα αξιώματα που χαρακτηρίζουν την συμπεριφορά τους.

Χωρίζοντας τα αξιώματα σε 5 ομάδες, ο Χίλμπερτ ξεχώρισε τις βάσεις για τις έννοιες της σύμπτωσης, της διάταξης, της συμφωνίας, της παραλληλίας και της συνέχειας.

Για παράδειγμα στην περίπτωση της σύμπτωσης, τα 3 αξιώματα είναι τα εξής:

• Δύο σημεία ορίζουν ακριβώς μια ευθεία
• Κάθε ευθεία περιέχει τουλάχιστον 2 σημεία
• Υπάρχουν τουλάχιστον 3 σημεία που δεν είναι συνευθειακά

Με αυτόν τον τρόπο, ο Χίλμπερτ κατάφερε να θεμελιώσει αυστηρά την θεωρία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αναβαθμίζοντας σημαντικά το έργο του Ευκλείδη. Την ίδια ώρα, οι υπόλοιπες γεωμετρίες συνέχιζαν να αναπτύσσονται κανονικά, χωρίς να εμποδίζονται από την ασάφεια των ορισμών, αφού ήταν «συνεπείς».

Αυτό που απέδειξε ο σπουδαίος μαθηματικός, είναι πως η έννοια της γεωμετρίας είναι αυθαίρετη αλλά θα πρέπει κάθε φορά να... καθορίζεται αυστηρά από αξιώματα. Από την στιγμή όμως που κάθε φορά η αξιωματική της βάση αλλάζει, είναι δεδομένο πως κάθε είδους γεωμετρία θα παρουσιάζει τις δικές της ιδιομορφίες.

Εχοντας πλέον πιο ξεκάθαρη την έννοια της γεωμετρίας στο μυαλό τους, οι μαθηματικοί μπόρεσαν να αναπτύξουν όλους τους πιθανούς κλάδους της, αντί να μπερδεύονται με αντιφάσεις που στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν!

Μετά τον Ευκλείδη λοιπόν, ο Χίλμπερτ θα μπορούσε να θεωρηθεί ο... επόμενος «πατέρας» της γεωμετρίας.