Από την απαρχή των μαθηματικών, η έννοια της ισότητας υπάρχει ως θεμέλιος λίθος τους. Οι πρώτες σπουδαίες εξισώσεις επινοήθηκαν χιλιετίες πριν. Σήμερα, μέσα σε ακαδημαϊκά βιβλία φιλοξενούνται εκατομμύρια. Οι διαφορικές όμως, είναι σαν να ξεχωρίζουν ανάμεσα τους.
Ενα ιδιάζον είδος εξισώσεων, που εισήχθη στον κόσμο των αριθμών πριν από περίπου 3 αιώνες, αλλά εξελίχθηκε πολλά χρόνια μετά. Μια οικογένεια ισοτήτων με στόχο να «προβλέψει» και όχι απλά να... εξισώσει.
Πώς ο Νεύτωνας επινόησε τις Διαφορικές Εξισώσεις – Ενα «εργαλείο» που θα τον βοηθούσε στην θεμελίωση της Κλασικής Φυσικής
Σαν κάθε άλλο μαθηματικό «εργαλείο», έτσι και οι Διαφορικές Εξισώσεις ανακαλύφθηκαν για να εξελίξουν κομμάτια της επιστήμης που βρίσκονταν σε αδιέξοδο. Ο Νεύτωνας, στην προσπάθεια του να δημιουργήσει τους νόμους της κλασικής μηχανικής, χρειαζόταν ένα τρόπο να εξηγήσει την έννοια του «ρυθμού μεταβολής». Πώς επηρεάζεται η θέση ενός αντικειμένου, σε σχέση με την ταχύτητα που έχει; Πώς επηρεάζεται η ταχύτητα του, σε σχέση με την δύναμη που του ασκείται;
Για να απαντήσει σε αυτά τα ερωτήματα, το 1671 ο Νεύτωνας επινόησε τις πρώτες εξισώσεις παραγώγων και συναρτήσεων. Η σκέψη του Αγγλου φυσικού προκάλεσε πολύ έντονο ενδιαφέρον στην σπουδαία επιστημονική κοινότητα της εποχής. Leibniz, Euler, Bernoulli, d'Alembert και Lagrange ήταν κάποιοι από τους σημαντικότερους που ασχολήθηκαν και εξέλιξαν, αυτό που πρώτος επινόησε ο Νεύτωνας.
Μαθηματικοί και φυσικοί έψαχναν μανιωδώς τρόπους να συσχετίσουν δύο ποσότητες μεταξύ τους. Να βρουν την κατάλληλη εξίσωση που περιγράφει την σχέση μεταξύ δύο εννοιών, όπως η επιτάχυνση και η θέση ενός αντικειμένου. Δεν χρειάστηκε να περάσουν πολλά χρόνια ώστε να «ανθίσει» ο τομέας των Διαφορικών Εξισώσεων. Ωστόσο, πέρασαν πολλά περισσότερα μέχρι αυτό το απίθανο εργαλείο να βρει τον ρόλο του σε επιστήμες πέραν των μαθηματικών και της φυσικής.
Το απόλυτο εργαλείο πρόβλεψης: Ο συνδυασμός ενός ισχυρού υπολογιστή και της σωστής εξίσωσης
Η κίνηση ενός σώματος, όταν γνωρίζουμε την θέση του και την ταχύτητα του, δεν είναι καθόλου δύσκολο να προβλεφθεί. Αυτό διότι οι παράγοντες που την επηρεάζουν είναι λίγοι και γνωστοί. Τι συμβαίνει όμως όταν προσπαθεί κανείς να περιγράψει μέσω Διαφορικών Εξισώσεων, την αύξηση ή την μείωση του πληθυσμού μιας πόλης; Ή ακόμα χειρότερα, την εξέλιξη ενός οικονομικού μοντέλου;
Οσοι περισσότεροι παράγοντες επηρεάζουν το αποτέλεσμα, τόσο δυσκολότερη είναι και η εύρεση της κατάλληλης εξίσωσης, αλλά και οι αποτελεσματικές προβλέψεις της. Παρόλα αυτά, οι Διαφορικές Εξισώσεις κατάφεραν να βρουν εφαρμογή στην Βιολογία, στην Χημεία αλλά και σε αρκετά, απλά, πληθυσμιακά μοντέλα.
Η πρόβλεψη του πληθυσμού των βακτηρίων σε ένα σκεύος, ο μέγιστος αριθμός τους και ο ρυθμός της μείωσης τους όταν τους τελειώσει η τροφή, ήταν ένα από τα πιο απλά πειράματα στον χώρο της Βιολογίας, που επαληθεύτηκαν μέσω Διαφορικών Εξισώσεων. Τέτοιου είδους προβλήματα λύνονται χωρίς δυσκολία, από εξισώσεις που πλέον είναι γνωστές. Ομως ο στόχος των επιστημόνων, ήταν οι Διαφορικές Εξισώσεις να συντελέσουν στην δημιουργία αποτελεσματικών μοντέλων πρόβλεψης, σε τομείς όπως η ιατρική, η οικονομία, αλλά και η σύγχρονη φυσική.
Αυτό μπόρεσε να επιτευχθεί μόνο μέσω των υπολογιστών, καθώς οι πολλοί παράγοντες και ο συνδυασμός πολλών και δύσκολων εξισώσεων καθιστούσαν αδύνατη οποιαδήποτε άλλη προσέγγιση. Ο ρόλος των μαθηματικών, στις πιο σύγχρονες εφαρμογές των Διαφορικών Εξισώσεων, είναι να βρουν τις σχέσεις που θα δώσουν τα πιο κοντινά αποτελέσματα με την πραγματικότητα. Τα πιο ισχυρά μέσα πρόβλεψης.
Για να πραγματοποιηθεί όμως η πρόβλεψη, απαιτείται η χρήση υπολογιστή. Σήμερα, η εξάπλωση των περισσότερων μορφών καρκίνου, η διάδοση μιας ασθένειας μέσα σε μια πόλη, οι μελλοντικές επιπτώσεις μιας οικονομικής πολιτικής, προβλέπονται επιτυχημένα μέσω Διαφορικών Εξισώσεων. Ο συνδυασμός υπολογιστή και σωστών μαθηματικών μοντέλων, έχει δημιουργήσει ένα απόλυτο «εργαλείο» πρόβλεψης. Για κάθε ποσότητα που θέλουμε, μπορούμε να βρούμε μια αντίστοιχη εξίσωση.
Οι Διαφορικές Εξισώσεις μπόρεσαν να βρουν χιλιάδες εφαρμογές εκτός των στενών συνόρων των μαθηματικών. Εγιναν «εργαλείο» για κάθε επιστήμη, για κάθε τί που απαιτεί πρόβλεψη. Κατάφεραν όμως ταυτόχρονα να εισάγουν την μαθηματική ακρίβεια, όσο λίγοι τομείς των μαθηματικών, στον σύγχρονο κόσμο.