Ως γνωστόν, τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που προσπαθεί να αποδείξει τα πάντα μέσα από την λογική. Η λογική όμως ξεκινά από κοινά αποδεκτές «αλήθειες», κάτι που έρχεται αντίθετο με την ίδια την φύση των μαθηματικών.
Η αναζήτηση της απόλυτης λογικής αλήθειας – Πως οι μαθηματικοί προσπάθησαν να απεμπλακούν από τα αξιώματα
Ενας «πραγματιστής» μαθηματικός θα μπορούσε εύκολα να δεχτεί το γεγονός ότι η επιστήμη του ξεκινά από βασικές αρχές, χτισμένες από την κοινή λογική και όχι αποδεδειγμένες επιστημονικά. Αρχές από τις οποίες «γεννιέται» κάθε τι άλλο που συμπεριλαμβάνεται σε μια μαθηματική θεωρία. Είναι όμως δυνατόν τα μαθηματικά, η επιστήμη της απόδειξης και της λογικής, να στηρίζονται σε κάτι το αναπόδεικτο;
Οι πιο ανήσυχοι μαθηματικοί, γύρω στο τέλος του 19ου αιώνα, ξεκίνησαν μια προσπάθεια να εξηγήσουν τα πάντα μέσω της λογικής, θέλοντας να ξεφύγουν από οποιαδήποτε παραδοχή. Κάπως έτσι δημιουργήθηκε ο κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Ακόμα και εκεί όμως, έπρεπε να οριστούν κάποια αξιώματα, ώστε να οικοδομηθεί η θεωρία.
Οι προβληματισμοί των μαθηματικών της εποχής δίχασαν την επιστημονική κοινότητα. Πολλοί μαθηματικοί θεώρησαν πλήρως ανούσιες τις προσπάθειες των συναδέρφων τους να... φιλοσοφήσουν τα μαθηματικά. Την ίδια ώρα, οι «στοχαστές» δεν έβλεπαν φως στο τούνελ της μαθηματικής λογικής. Κάθε προσπάθεια τους κατέληγε ανεπιτυχής. Οσο και να εμβάθυναν στην μαθηματική λογική, κατέληγαν σε πιο «λογικά» αξιώματα. Δεν μπορούσαν όμως να απεξαρτηθούν από την ύπαρξη τους.
Κάπου εκεί άρχισαν να γεννιούνται και τα πρώτα σφάλματα της λογικής. Ο άνθρωπος που δημιούργησε το πιο γνωστό λογικό «παράδοξο» ήταν ο Ράσελ. Ενας μαθηματικός που αφιέρωσε όλη του την επιστημονική καριέρα στην αναζήτηση της απόλυτης λογικής. Το παράδοξο του ήρθε να κατεδαφίσει την Θεωρία Συνόλων, που είχε θεμελιωθεί πάνω στην Μαθηματική Λογική.
Το «παράδοξο του κουρέα» και η αυστηρή απόδειξη πως τα μαθηματικά είναι... αναπόδεικτα
Η Θεωρία Συνόλων ξεκίνησε από τις ιδέες του Καντόρ και εξελίχθηκε από αρκετούς μαθηματικούς. Μια βασική ιδέα που θεμελίωνε την θεωρία, ήταν πως κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Κάθε σύνολο δηλαδή είναι μια ομάδα αντικειμένων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Μια πρόταση που ακούγεται αρκετά προφανής.
Ο Ράσελ, μέσω ενός πολύ απλού και συνοπτικού παραδείγματος, ήρθε να αποδείξει πως αυτός ο ορισμός είναι εσφαλμένος. Θεώρησε R το σύνολο των συνόλων που δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους. Τι ισχύει όμως για το ίδιο το R; Αν το R άνηκε στο σύνολο, τότε εξ ορισμού δεν θα ήταν στοιχείο του συνόλου. Αν δεν ήταν στοιχείο του συνόλου, τότε θα... ήταν στοιχείο του συνόλου. Με λίγα λόγια, ο Ράσελ δημιούργησε μια συνθήκη ανίκανη να περιγράψει το σύνολο που δημιουργούσε.
Η ιδέα του Ράσελ γίνεται πιο κατανοητή μέσω του παρακάτω παραδείγματος:
«Σε μια πόλη ο κανονισμός λέει πως όλοι οι άνδρες πρέπει να είναι ξυρισμένοι. Σε αυτήν την πόλη υπάρχει μόνο ένας κουρέας, ο οποίος ξυρίζει μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιος ξυρίζει όμως τον κουρέα;»
Αναλύοντας το πρόβλημα μέσω της Θεωρίας Συνόλων, είναι κατανοητό πως στη χώρα υπάρχει το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας δεν ξυρίζεται μόνος του αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά ούτε κάποιος άλλος δεν μπορεί να τον ξυρίσει, αφού ο κουρέας ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Μέσω της ίδιας σκέψης, το σύνολο όλων των συνόλων είναι αδύνατο να οριστεί.
Το παράδοξο του Ράσελ κατέρριψε την δομή της Θεωρίας Συνόλων, διαγράφοντας επίσης την όποια ελπίδα θεμελίωσης των μαθηματικών σε όρους λογικής. Λίγα χρόνια αργότερα, ήρθε ένα θεώρημα για να βάλουν τέλος στα όνειρα των μαθηματικών της λογικής, τραντάζοντας τον κόσμο της επιστήμης. Γνωστό ως το «πρώτο θεώρημα της μη-πληρότητας»
Κάθε επιστημονική θεωρία περιέχει ορισμένες αλήθειες οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν βάση της ίδιας της θεωρίας, ήταν το πρώτο αποδεδειγμένο θεώρημα του Γκέντελ που ουσιαστικά αποδεικνύει πως η ύπαρξη των αξιωμάτων είναι υποχρεωτική για την θεμελίωση των θεωριών. Αν το εξετάσουμε λίγο πιο... φιλοσοφικά, το θεώρημα αυτό βάζει ένα φράγμα στην λογική. Εξηγεί πως οποιαδήποτε μαθηματική ανακάλυψη στηρίζεται σε αναπόδεικτες αλήθειες.
Η μη-πληρότητα του Γκέντελ είναι ίσως το πιο «αντιεπιστημονικό» θεώρημα στην ιστορία της επιστήμης. Μια πρόταση που αποδεικνύει πως η ύπαρξη κάθε μαθηματικής θεωρίας βασίζεται στην ίδια την ανθρώπινη διαίσθηση.
Η προσπάθεια των μαθηματικών να αποδείξουν πως η επιστήμη τους είναι από τις ρίζες της θεμελιωμένη, δεν ήταν απόλυτα αποτυχημένη. Μπορεί λοιπόν τα μαθηματικά να ξεκινούν από κοινώς αποδεκτές αλήθειες, αλλά τουλάχιστον οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν ακόμα και αυτό. Οτι δηλαδή η επιστήμη τους είναι... αποδεδειγμένα αναπόδεικτη.